The Monty Hall problem - Ένα απρόσμενο παράδοξο πιθανοτήτων

Ο Monty Hall είναι Καναδός σόουμαν, που παρουσίαζε το περίφημο τηλεπαιχνίδι Let’s make a deal στο ABC από το 1963 μέχρι το 1977 και σε μερικές ακόμα μεμονωμένες σαιζόν μέχρι και το 1991. Το τηλεπαιχνίδι αυτό είναι από τα ιστορικότερα που έχουν περάσει από την τηλεόραση, και χαρακτηριστικό είναι ότι αρκετά στοιχεία του έχουν εμπνεύσει και επηρεάσει πολλά τηλεπαιχνίδια μέχρι και σήμερα.

Το όνομα του Monty Hall, όμως, είναι πλέον γνωστό κυρίως στους μελετητές της επιστήμης των πιθανοτήτων, αφού αντιστοιχεί σε ένα από τα μεγαλύτερα "veridical paradoxes" της επιστήμης αυτής.

Όλα ξεκίνησαν όταν το 1975 ο Steve Selvin έστειλε ένα γράμμα στο περιοδικό American Statistician, δημοσιεύοντας ένα πρόβλημα βασισμένο στο συγκεκριμένο τηλεπαιχνίδι, το οποίο αργότερα ονόμασε Monty Hall problem, αν και το πρόβλημα ήταν στην πραγματικότητα αντίστοιχο με το ήδη γνωστό τότε Three Prisoners problem του Martin Gardner και άλλα προβλήματα που είχαν διατυπωθεί ήδη ακόμα και από το 1889.

Το Monty Hall problem έχει ως εξής.

ΥΠΟΘΕΣΗ:

Υπάρχουν τρεις πόρτες. Η μία εξ αυτών κρύβει ένα αυτοκίνητο. Οι άλλες κρύβουν από μία κατσίκα. Ο παίκτης καλείται να διαλέξει μια πόρτα, σύμφωνα με το γνωστό πλέον παιχνίδι της κουρτίνας.

Ας πούμε πως ο παίκτης επιλέγει την 1η πόρτα. Ο παρουσιαστής, βέβαια, δε θα ανοίξει αμέσως αυτήν την πόρτα, αλλά θα καθυστερήσει λίγο, ανοίγοντας ας πούμε την 3η πόρτα, η οποία περιέχει μια κατσίκα, και αυξάνοντας την αγωνία των τηλεθεατών.

Εκείνη τη στιγμή, λοιπόν, ο παρουσιαστής δίνει στον παίκτη τη δυνατότητα να αλλάξει, αν θέλει, την επιλογή του ανάμεσα στις δύο πόρτες που έχουν απομείνει ή, βέβαια, αν θέλει, να τη διατηρήσει.

ΠΡΟΤΑΣΗ:

Εάν ο παίκτης αλλάξει την επιλογή του και ζητήσει την άλλη πόρτα, έχει 2 φορές περισσότερες πιθανότητες να βρει το αυτοκίνητο απ’ ότι αν εμμείνει στην αρχική του επιλογή. Ισχύει ή όχι;

Ακόμα και οι ίδιοι οι μαθηματικοί, ακόμα και νομπελίστες επιστήμονες, όπως λέγεται, δε βρίσκουν τη σωστή απάντηση. Οι στατιστικές δείχνουν ότι μόλις το 13% των ανθρώπων απαντάει σωστά στην παραπάνω ερώτηση.

Η πρώτη προσέγγιση λέει ότι εφόσον έχουν απομείνει δύο πόρτες, εκ των οποίων η μία έχει το αυτοκίνητο και η άλλη την κατσίκα, οι πιθανότητες να πετύχει κανείς το αυτοκίνητο είναι 50% σε οποιαδήποτε πόρτα, το πρόβλημα πλέον έχει μετατραπεί σε παιχνίδι τύπου κορώνα-γράμματα, οι πιθανότητες είναι οι ίδιες και ο παίκτης δεν έχει ιδιαίτερο λόγο να αλλάξει την αρχική του επιλογή.

Η απάντηση αυτή μάλιστα θεωρείται, με την πρώτη αυτήν προσέγγιση, εξόφθαλμη και προφανέστατη.

Είναι, όμως, η λανθασμένη, και γι’ αυτόν ακριβώς το λόγο το Monty Hall problem αποκαλείται και Monty Hall paradox…

Στην πραγματικότητα, αλλάζοντας την επιλογή του έχει διπλάσιες πιθανότητες να πετύχει το αυτοκίνητο.

Ο λόγος που οδηγούνται οι περισσότεροι στη λανθασμένη εντύπωση είναι ότι υποτιμούν τα δεδομένα. Η κατάσταση στην οποία βρεθήκαμε δεν είναι καθόλου ανεξάρτητη από το παρελθόν της, από τον τρόπο με τον οποίο προέκυψε.

Στην αρχή, όταν υπήρχαν τρεις κλειστές πόρτες, η πιθανότητα να επιλέξει ο παίκτης την πόρτα με το αυτοκίνητο ήταν 1/3 ή 33,3%, ενώ η πιθανότητα να επιλέξει πόρτα με κατσίκα ήταν 2/3 ή 66,6%. Αποκαλύπτοντας ο παρουσιαστής την κατσίκα πίσω από την πόρτα που άνοιξε, δεν άλλαξε αυτό το δεδομένο.

Οι περισσότεροι παραβλέπουν ένα στοιχείο που έχει διατυπωθεί ή εννοηθεί στην υπόθεση του προβλήματος, το γεγονός δηλαδή ότι ο παρουσιαστής πάντα α) γνωρίζει τι βρίσκεται πίσω από κάθε πόρτα και β) θα επιλέξει ποια πόρτα θα ανοίξει πρώτη, ούτως ώστε η αγωνία να παραταθεί και να συγκεντρωθεί στο επόμενο άνοιγμα.

Χωρίς αυτό το δεδομένο, πράγματι, το άνοιγμα της πρώτης πόρτας θα ήταν ένα τυχαίο πείραμα και το αποτέλεσμά του, η αποκάλυψη της κατσίκας, θα μας δημιουργούσε καινούρια δεδομένα, ανεξάρτητα από τα αρχικά, και τότε, πράγματι, οι πιθανότητες θα γίνονταν 50%-50%.

Το παραπάνω δεδομένο όμως, μας λέει ότι το πείραμα του ανοίγματος της πρώτης πόρτας, δεν είναι τυχαίο. Αντιθέτως, στην πραγματικότητα δεν είναι καν πείραμα. Ο παρουσιαστής οδηγείται από την επιλογή μας στην επιλογή της πρώτης κουρτίνας που θα ανοίξει, με το σκεπτικό, βέβαια, για λόγους τηλεθέασης, σε κάθε περίπτωση, η πρώτη πόρτα που θα ανοίξει να έχει κατσίκα.

Στους δύο παρακάτω συγκριτικούς πίνακες που έχει φτιάξει η wikipedia στο σχετικό με το πρόβλημα λήμμα της, φαίνεται καθαρά πώς διαμορφώνεται η επιλογή του παρουσιαστή για την πόρτα που θα ανοιχτεί πρώτη και άρα ο τρόπος με τον οποίο το δεδομένο που τονίστηκε παραπάνω επηρεάζει την εξέλιξη του παιχνιδιού:

Λαμβάνοντας υπόψη, λοιπόν, το παραπάνω δεδομένο και μάλιστα από την υπόθεση του προβλήματος, καταλαβαίνουμε ότι με το άνοιγμα της πρώτης πόρτας ο παρουσιαστής δεν αλλάζει καθόλου τις πιθανότητες, απλώς παρατείνει την αγωνία μεταθέτοντας κατά κάποιο τρόπο στη μία κλειστή πόρτα που έχει κατσίκα ολόκληρο το 66,6% που αντιστοιχούσε προηγουμένως συγκεντρωτικά στις δύο κλειστές πόρτες που είχαν κατσίκες.

Η αρχική επιλογή του παίκτη, λοιπόν, εξακολουθεί να έχει 33,3% πιθανότητα να κρύβει αυτοκίνητο και 66,6% πιθανότητα να κρύβει κατσίκα.

Τότε η άλλη πόρτα θα έχει, αντιστρόφως, 66,6% πιθανότητα να έχει αυτοκίνητο και 33,3% να έχει κατσίκα.

Αλλάζοντας πόρτα, λοιπόν, έχουμε πράγματι διπλάσιες πιθανότητες να βρούμε το αυτοκίνητο.

Το σχέδιο της wikipedia που ακολουθεί εξηγεί σε ένα βαθμό όλα τα παραπάνω.

Αυτό που προτείνει η μέθοδος αυτή, δηλαδή, ουσιαστικά, είναι να επιλέξουμε στην αρχή μια πόρτα τυχαία, γνωρίζοντας ότι το πιθανότερο (66,6%) είναι η επιλογή μας να μην αντιστοιχεί σε αυτοκίνητο, να περιμένουμε τον παρουσιαστή να βγάλει από το παιχνίδι μία πόρτα με κατσίκα, και τότε να εγκαταλείψουμε την αρχική επιλογή.

Τελικά καταλήγουμε στη σωστή πόρτα, αν η αρχική μας επιλογή ήταν εσφαλμένη, που είναι και το πιθανότερο, ενώ αν ήμασταν αρκετά τυχεροί στην αρχή ώστε να μαντέψουμε σωστά με την πρώτη την πόρτα με το αυτοκίνητο (33,3%), αλλάζοντάς την, στη συνέχεια, το χάνουμε…

Η μέθοδος αυτή έχει εμπνεύσει, μάλιστα, διάφορες σκηνές στον κινηματογράφο.

Δεν είναι, πάντως, η μόνη φορά που ένα ενδιαφέρον πρόβλημα πιθανοτήτων ή και στατιστικής προέκυψε μέσα από ένα τηλεπαιχνίδι.

UPDATE 01/05/2012: Βρήκα κάτι που μου φάνηκε πολύ ενδιαφέρον, όσοι νομίζουν ότι πραγματικά τους απασχολεί εξίσου μπορούν να διαβάσουν την έξυπνη αυτή μελέτη που ονομάζεται "The Monty Hall Problem is not a Probability Puzzle (It's a challenge in mathematical modelling)".