Friday, June 27, 2008

The Monty Hall problem - Ένα απρόσμενο παράδοξο πιθανοτήτων

Ο Monty Hall είναι Καναδός σόουμαν, που παρουσίαζε το περίφημο τηλεπαιχνίδι Let’s make a deal στο ABC από το 1963 μέχρι το 1977 και σε μερικές ακόμα μεμονωμένες σαιζόν μέχρι και το 1991. Το τηλεπαιχνίδι αυτό είναι από τα ιστορικότερα που έχουν περάσει από την τηλεόραση, και χαρακτηριστικό είναι ότι αρκετά στοιχεία του έχουν εμπνεύσει και επηρεάσει πολλά τηλεπαιχνίδια μέχρι και σήμερα.
Το όνομα του Monty Hall, όμως, είναι πλέον γνωστό κυρίως στους μελετητές της επιστήμης των πιθανοτήτων, αφού αντιστοιχεί σε ένα από τα μεγαλύτερα "veridical paradoxes" της επιστήμης αυτής.

Όλα ξεκίνησαν όταν το 1975 ο Steve Selvin έστειλε ένα γράμμα στο περιοδικό American Statistician, δημοσιεύοντας ένα πρόβλημα βασισμένο στο συγκεκριμένο τηλεπαιχνίδι, το οποίο αργότερα ονόμασε Monty Hall problem, αν και το πρόβλημα ήταν στην πραγματικότητα αντίστοιχο με το ήδη γνωστό τότε Three Prisoners problem του Martin Gardner και άλλα προβλήματα που είχαν διατυπωθεί ήδη ακόμα και από το 1889.
Το Monty Hall problem έχει ως εξής.

ΥΠΟΘΕΣΗ:
Υπάρχουν τρεις πόρτες. Η μία εξ αυτών κρύβει ένα αυτοκίνητο. Οι άλλες κρύβουν από μία κατσίκα. Ο παίκτης καλείται να διαλέξει μια πόρτα, σύμφωνα με το γνωστό πλέον παιχνίδι της κουρτίνας.
Ας πούμε πως ο παίκτης επιλέγει την 1η πόρτα. Ο παρουσιαστής, βέβαια, δε θα ανοίξει αμέσως αυτήν την πόρτα, αλλά θα καθυστερήσει λίγο, ανοίγοντας ας πούμε την 3η πόρτα, η οποία περιέχει μια κατσίκα, και αυξάνοντας την αγωνία των τηλεθεατών.

Εκείνη τη στιγμή, λοιπόν, ο παρουσιαστής δίνει στον παίκτη τη δυνατότητα να αλλάξει, αν θέλει, την επιλογή του ανάμεσα στις δύο πόρτες που έχουν απομείνει ή, βέβαια, αν θέλει, να τη διατηρήσει.

ΠΡΟΤΑΣΗ:
Εάν ο παίκτης αλλάξει την επιλογή του και ζητήσει την άλλη πόρτα, έχει 2 φορές περισσότερες πιθανότητες να βρει το αυτοκίνητο απ’ ότι αν εμμείνει στην αρχική του επιλογή. Ισχύει ή όχι;

Ακόμα και οι ίδιοι οι μαθηματικοί, ακόμα και νομπελίστες επιστήμονες, όπως λέγεται, δε βρίσκουν τη σωστή απάντηση. Οι στατιστικές δείχνουν ότι μόλις το 13% των ανθρώπων απαντάει σωστά στην παραπάνω ερώτηση.

Η πρώτη προσέγγιση λέει ότι εφόσον έχουν απομείνει δύο πόρτες, εκ των οποίων η μία έχει το αυτοκίνητο και η άλλη την κατσίκα, οι πιθανότητες να πετύχει κανείς το αυτοκίνητο είναι 50% σε οποιαδήποτε πόρτα, το πρόβλημα πλέον έχει μετατραπεί σε παιχνίδι τύπου κορώνα-γράμματα, οι πιθανότητες είναι οι ίδιες και ο παίκτης δεν έχει ιδιαίτερο λόγο να αλλάξει την αρχική του επιλογή.
Η απάντηση αυτή μάλιστα θεωρείται, με την πρώτη αυτήν προσέγγιση, εξόφθαλμη και προφανέστατη.
Είναι, όμως, η λανθασμένη, και γι’ αυτόν ακριβώς το λόγο το Monty Hall problem αποκαλείται και Monty Hall paradox

Στην πραγματικότητα, αλλάζοντας την επιλογή του έχει διπλάσιες πιθανότητες να πετύχει το αυτοκίνητο.

Ο λόγος που οδηγούνται οι περισσότεροι στη λανθασμένη εντύπωση είναι ότι υποτιμούν τα δεδομένα. Η κατάσταση στην οποία βρεθήκαμε δεν είναι καθόλου ανεξάρτητη από το παρελθόν της, από τον τρόπο με τον οποίο προέκυψε.
Στην αρχή, όταν υπήρχαν τρεις κλειστές πόρτες, η πιθανότητα να επιλέξει ο παίκτης την πόρτα με το αυτοκίνητο ήταν 1/3 ή 33,3%, ενώ η πιθανότητα να επιλέξει πόρτα με κατσίκα ήταν 2/3 ή 66,6%. Αποκαλύπτοντας ο παρουσιαστής την κατσίκα πίσω από την πόρτα που άνοιξε, δεν άλλαξε αυτό το δεδομένο.
Οι περισσότεροι παραβλέπουν ένα στοιχείο που έχει διατυπωθεί ή εννοηθεί στην υπόθεση του προβλήματος, το γεγονός δηλαδή ότι ο παρουσιαστής πάντα α) γνωρίζει τι βρίσκεται πίσω από κάθε πόρτα και β) θα επιλέξει ποια πόρτα θα ανοίξει πρώτη, ούτως ώστε η αγωνία να παραταθεί και να συγκεντρωθεί στο επόμενο άνοιγμα.
Χωρίς αυτό το δεδομένο, πράγματι, το άνοιγμα της πρώτης πόρτας θα ήταν ένα τυχαίο πείραμα και το αποτέλεσμά του, η αποκάλυψη της κατσίκας, θα μας δημιουργούσε καινούρια δεδομένα, ανεξάρτητα από τα αρχικά, και τότε, πράγματι, οι πιθανότητες θα γίνονταν 50%-50%.
Το παραπάνω δεδομένο όμως, μας λέει ότι το πείραμα του ανοίγματος της πρώτης πόρτας, δεν είναι τυχαίο. Αντιθέτως, στην πραγματικότητα δεν είναι καν πείραμα. Ο παρουσιαστής οδηγείται από την επιλογή μας στην επιλογή της πρώτης κουρτίνας που θα ανοίξει, με το σκεπτικό, βέβαια, για λόγους τηλεθέασης, σε κάθε περίπτωση, η πρώτη πόρτα που θα ανοίξει να έχει κατσίκα.
Στους δύο παρακάτω συγκριτικούς πίνακες που έχει φτιάξει η wikipedia στο σχετικό με το πρόβλημα λήμμα της, φαίνεται καθαρά πώς διαμορφώνεται η επιλογή του παρουσιαστή για την πόρτα που θα ανοιχτεί πρώτη και άρα ο τρόπος με τον οποίο το δεδομένο που τονίστηκε παραπάνω επηρεάζει την εξέλιξη του παιχνιδιού:

Λαμβάνοντας υπόψη, λοιπόν, το παραπάνω δεδομένο και μάλιστα από την υπόθεση του προβλήματος, καταλαβαίνουμε ότι με το άνοιγμα της πρώτης πόρτας ο παρουσιαστής δεν αλλάζει καθόλου τις πιθανότητες, απλώς παρατείνει την αγωνία μεταθέτοντας κατά κάποιο τρόπο στη μία κλειστή πόρτα που έχει κατσίκα ολόκληρο το 66,6% που αντιστοιχούσε προηγουμένως συγκεντρωτικά στις δύο κλειστές πόρτες που είχαν κατσίκες.
Η αρχική επιλογή του παίκτη, λοιπόν, εξακολουθεί να έχει 33,3% πιθανότητα να κρύβει αυτοκίνητο και 66,6% πιθανότητα να κρύβει κατσίκα.
Τότε η άλλη πόρτα θα έχει, αντιστρόφως, 66,6% πιθανότητα να έχει αυτοκίνητο και 33,3% να έχει κατσίκα.
Αλλάζοντας πόρτα, λοιπόν, έχουμε πράγματι διπλάσιες πιθανότητες να βρούμε το αυτοκίνητο.
Το σχέδιο της wikipedia που ακολουθεί εξηγεί σε ένα βαθμό όλα τα παραπάνω.
Αυτό που προτείνει η μέθοδος αυτή, δηλαδή, ουσιαστικά, είναι να επιλέξουμε στην αρχή μια πόρτα τυχαία, γνωρίζοντας ότι το πιθανότερο (66,6%) είναι η επιλογή μας να μην αντιστοιχεί σε αυτοκίνητο, να περιμένουμε τον παρουσιαστή να βγάλει από το παιχνίδι μία πόρτα με κατσίκα, και τότε να εγκαταλείψουμε την αρχική επιλογή.
Τελικά καταλήγουμε στη σωστή πόρτα, αν η αρχική μας επιλογή ήταν εσφαλμένη, που είναι και το πιθανότερο, ενώ αν ήμασταν αρκετά τυχεροί στην αρχή ώστε να μαντέψουμε σωστά με την πρώτη την πόρτα με το αυτοκίνητο (33,3%), αλλάζοντάς την, στη συνέχεια, το χάνουμε…

Η μέθοδος αυτή έχει εμπνεύσει, μάλιστα, διάφορες σκηνές στον κινηματογράφο.

Δεν είναι, πάντως, η μόνη φορά που ένα ενδιαφέρον πρόβλημα πιθανοτήτων ή και στατιστικής προέκυψε μέσα από ένα τηλεπαιχνίδι.

UPDATE 01/05/2012: Βρήκα κάτι που μου φάνηκε πολύ ενδιαφέρον, όσοι νομίζουν ότι πραγματικά τους απασχολεί εξίσου μπορούν να διαβάσουν την έξυπνη αυτή μελέτη που ονομάζεται "The Monty Hall Problem is not a Probability Puzzle (It's a challenge in mathematical modelling)". 

17 Comments:

Blogger Βασιλης said...

τι πίνεις και δεν μας δίνεις......

Friday, June 27, 2008 8:13:00 pm  
Blogger kiara said...

Καλά, πού τα βρίσκεις και μας τα λες! Ειλικρινά! χαχαχα

Friday, June 27, 2008 9:29:00 pm  
Anonymous nefelaki said...

...μάλλον δεν το κατάλαβα =(

Saturday, June 28, 2008 1:23:00 pm  
Blogger i'm not paranoid said...

Ιάσωνα θα μπορούσες να ήσουν σεμφίτης!:p
Είχαμε ασχοληθεί με αυτό στη στατιστική.Ωραία το παρουσίασες πάντως!

Saturday, June 28, 2008 6:09:00 pm  
Blogger Jason said...

Βασίλη και Kiara, δεν είναι κάτι σπάνιο, την απόδειξη σας την έδωσε μόλις η I'm not paranoid. :)

Νεφέλη, πιστεύω ήταν όσο πιο αναλυτικό αντέχεται... Ίσως και παραπάνω από τόσο...

Μαρινίκη, για καλό μου το λες αυτό...; :)

Saturday, June 28, 2008 6:17:00 pm  
Anonymous nefelaki said...

αναλυτικότατο ήταν αλλά εγώ δεν το έπιασα...!

Sunday, June 29, 2008 10:35:00 am  
Blogger to_koritsi_pu_i8ele_polla said...

αχ είναι πολύ περίεργο..
εγώ ήμουν σίγουρη στην αρχή πως οι πιθανότητες είναι 50-50 αν η πρώτη πόρτα έχει κατσίκα..

αλλά τώρα που το εξήγησες it makes perfect sense!

Monday, June 30, 2008 10:18:00 pm  
Anonymous xrisimo kouneli said...

Οκ αντε να το δεχτουμε.. (σε καμια περιπτωση).. Υπαρχει καποιο στατιστικο κατι τελος παντων που να το επαληθευει αυτο που λεει το κειμενο με τα ποσοστα. Γιατι αν δεν ειναι οντως 50% και ειναι 66,6 θα το ειχαμε παρει ολοι χαμπαρι (μετα απο 15χρονια παρακολουθησης) οτι αν αλλαξεις επιλογη κερδιζεις... Τωρα αν Αυτοι που αλλαζουν επιλογη ειναι κατα 0.001% (και 1%) κερδισμενοι νομιζω ειναι τελειος αμελιτεο και τελειος τυχαιο!

Saturday, October 11, 2008 12:55:00 pm  
Blogger Jason said...

Κοίταξε...
Μάλλον η εξήγησή μου δεν ήταν επαρκής τελικά, αλλά γενικά δεν πρέπει να μπήκες πολύ στο κλίμα, γιατί το πρόβλημα είναι μαθηματικό, ενώ αυτά τα 0,001% που αναφέρεις είναι λίγο αυθαίρετα. Τέλος πάντων, σε διαβεβαιώ ότι η αριθμητική πιθανότητα είναι 66% και ότι είναι ένα από τα πιο γνωστά προβλήματα Πιθανοθεωρίας. Βλέπεις ας πούμε, η I'm not paranoid πιο πάνω μας λέει ότι το διδάχθηκαν στο Πανεπιστήμιο. Θα το βρεις σε εγκυκλοπαίδειες (δες το σχετικό λήμμα της wikipedia, από το οποίο πήρα και τα γραφήματα) και σε βιβλιογραφία Πιθανοθεωρίας.
Ο λόγος που δεν το έχουμε... πάρει όλοι χαμπάρι, όπως λες, είναι ακριβώς ότι είναι πολύ δυσνόητο και ότι εκ πρώτης όψεως φαίνεται το αντίθετο, γι' αυτό άλλωστε το ονομάζουμε και παράδοξο.

Sunday, October 12, 2008 5:54:00 pm  
Anonymous Anonymous said...

ΓΙΑ ΝΑ ΤΟ ΚΑΤΑΛΑΒΕΤΕ ΚΑΛΥΤΕΡΑ :

Υποθεστε οτι έχουμε 10 κουρτίνες οι οποίες περιέχουν 9 ζονκ και ένα αυτοκίνητο. Ο παικτης επιλέγει μια κουρτίνα για αρχή. Οι πιθανότητες είναι Κερδος=1/10 , Χασούρα=9/10. Κατόπιν ο "μικρούτσικος" ΔΙΑΒΑΖΟΝΤΑΣ τα χαρτιά του (εδω ειναι το κλειδί της υπόθεσης-ειναι εσκεμμένη και όχι τυχαία ενέργεια) θα αποκαλύψει 8 κουρτίνες που θα έχουν ζονκ ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ και ΠΑΝΤΑ. ΑΡΑ η πιθανότητα Κέρδους του παίκτη δεν έχει αλλάξει ακόμη ,βρίσκεται στο 1/10 αλλα η πιθανότητα χασούρας που ήταν 9/10 έχει "φορτωθεί" ολόκληρη στην άλλη κουρτίνα που παραμένει κλειστή. Τώρα αν ο παίκτης αλλάξει την επιλογή του στην προτροπή του μικρούτσικου μετατρέπει την πιθανότητα χασούρας (9/10) σε πιθανότητα κέρδους. Το ίδιο ισχύει και για τις 3 κουρτίνες.

Friday, December 19, 2008 10:19:00 am  
Anonymous Anonymous said...

Να το πω και εγω λιγο διαφορετικα και πιο εμπειρικα. Στην αρχη κανεις μια επιλογη. Η επιλογη εχει 33% πιθανοτητα ενω τα μη επιλεγμενα και τα δυο μαζι εχουν 66% να ειναι το αμαξι. Στο τελος σου δινεται η δυνατοτητα να αλαξεις προς στα μη επιλεγμενα δηλαδη να ανταλαξεις το 33% με το 66% και μαλιστα σου αποκαλυπτεται και το ενα απο αυτα ωστε ολο το 66% μεταφερεται στη κλειστη επιλογη.

Friday, September 10, 2010 3:59:00 pm  
Anonymous Anonymous said...

Καλησπέρα σας
Στην 1η επιλογή είχαμε 33.3% για αμάξι.
Γιατί να μην θεωρήθεί η 2η επιλογή ανεξάρτητη από την 1η;
Αν ναι, τότε 1 στα 2 κερδίζω το αμάξι. 50% κερδίζω. Άρα αυξάνω την πιθανότητα κατά 16.7 %(33.3+16.7=50%). Που είναι το λάθος;
bak
bakeri@in.gr

Sunday, October 03, 2010 2:08:00 pm  
Blogger Jason said...

Καλησπέρα.
Το λάθος είναι ότι από την αρχή μέχρι το τέλος οι πιθανότητες δεν αλλάζουν.
Ο παρουσιαστής στην πραγματικότητα ανοίγοντας μία κουρτίνα δε σου αλλάζει τα δεδομένα. Και αυτό, διότι ξέρουμε από την αρχή του παιχνιδιού ότι ο παρουσιαστής θα επιλέξει να ανοίξει την κουρτίνα που δε θα έχει αυτοκίνητο και βέβαια σίγουρα όχι αυτήν που έχεις επιλέξεις εσύ. Ο παρουσιαστής ΞΕΡΕΙ, δεν ανοίγει στην τύχη.
Διάβασε αυτό που εξηγεί ο ανώνυμος, 2 σχόλια πιο πάνω από σένα. Και 10 κουρτίνες να υπάρχουν στο παιχνίδι, το σίγουρο είναι ότι ο παρουσιαστής θα τις ανοίξει έτσι ώστε να φτάσουμε μέχρι τις τελευταίες 2 για να μάθουμε τι γίνεται. Αν εσύ το ξέρεις αυτό από την αρχή, τότε στα πρώτα 8 ανοίγματα δεν έχεις καμία αγωνία. Ανοίγοντας αυτός τις κουρτίνες, ουσιαστικά είναι σα να φορτώνει στην τελευταία κουρτίνα όλη την αγωνία από όλες τις προηγούμενες μαζί. Το ίδιο ισχύει και για τις πιθανότητες.
Νομίζω αν διαβάσεις το άρθρο της wikipedia θα το καταλάβεις ίσως καλύτερα.

Sunday, October 03, 2010 7:48:00 pm  
Anonymous mrl said...

ναι αλλα αυτο δεν σημαινει οτι αν αλλαζεις παντα επιλογη,θα κερδιζεις και παντα..Απλα εχεις περισσοτερες πιθανοτητες. Ας μην ξεχνάμε τον παράγοντα τυχη

Tuesday, December 21, 2010 11:55:00 pm  
Blogger Jason said...

Αυτό εννοείται!

Friday, December 24, 2010 2:59:00 pm  
Anonymous Anonymous said...

Εγω και δεν καταλαβαινω αυτο που λετε οτι ο παρουσιαστης ξερει τι ανοιγει... και στην τυχη να σου ανοιγε κατσικα παλι το ιδιο δε θα ισχυε?

Tuesday, April 17, 2012 6:15:00 pm  
Blogger Jason said...

Όχι αναγκαστικά.
Αφού υπάρχουν στο παιχνίδι κατσίκες και αυτοκίνητα, ανοίγοντας τυχαία ο παρουσιαστής θα μπορούσε να ανοίξει είτε κατσίκα είτε αυτοκίνητο.
Αυτός όμως θέλει να αφήσει το αυτοκίνητο στο παιχνίδι για να έχει τηλεοπτικό σασπένς μέχρι το τέλος το παιχνίδι του και έτσι (γνωρίζοντας τι υπάρχει πού) ανοίγει σε όλο το παιχνίδι ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ και ΜΟΝΟ κατσίκες μέχρι να μείνουν οι 2 τελευταίες κουρτίνες, είτε είχαμε στην αρχή 3 είτε 13 είτε 113.
Με αυτά τα δεδομένα, αλλάζει το παιχνίδι.

Tuesday, May 01, 2012 10:27:00 am  

Post a Comment

Subscribe to Post Comments [Atom]

Links to this post:

Create a Link

<< Home